Energía asociada con un campo magnético

Hemos visto que la energía potencial electrostática que poseen dos cargas puntuales q1 y q2 situadas a la distancia r12, viene medida por el trabajo que se realiza al trasladar la carga q1 (o la q2) en presencia de q2 (de q1) desde el infinito hasta la distancia indicada en la distribución de q1 y q2 son del mismo signo, el trabajo se ha efectuado sobre el sistema (han de empujarse una hacia la otra) y por tanto es positiva. Dicha energía sería negativa si q1 y q2 fueran de distinto signo, lo que quiere decir que en este caso es el campo eléctrico el que realiza un trabajo positivo. Supongamos ahora una distribución de tres cargas. La energía que posee el sistema será el trabajo necesario para formar dicha configuración. Si tenemos q1 y traemos q2 el trabajo será el ya expresado en la fórmula anterior; a continuación traemos q3 el trabajo será luego el trabajo total o energía del sistema es generalizando para una distribución de cargas puntuales.

En donde el término entre paréntesis es el potencial electrostático debido a todas las cargas excepto a la qi en el punto donde ésta se encuentra, llamándolo V i nos quedará:

∑ Si tenemos una distribución continua de carga definida por su densidad volumétrica p(r) en vez de la distribución discreta de cargas puntuales, la carga en cada punto P (x, y, z) será: dq = p dv y el potencial en ese punto será V (x, y, z) debido a todas las cargas excepto a dq, entonces la expresión de la energía asociada a la distribución nos quedará:

∫ Es evidente que el valor de U será el mismo si la integral la extendemos a todo el espacio en vez de al volumen v (que encierra todas las cargas) puesto que fuera de ese volumen r = 0 y el integrando para esos puntos es nulo.